很多同学觉得立体几何很难，看到题目往往无从下手。而很多老师也宣称要学好立体几何需要具备所谓的“良好的空间想象能力”。
看起来似乎很有道理，其实经不起推敲。
比如用定义法，要保证线面平行，首先想有哪几条路推出，然后该添辅助线的添辅助线，要特别关注中点，往往有中位线或平行四边形。第二题如果用等体积法选好三棱锥，注意运算即可。一般如果有线面垂直，求得角正好与那三个面有关，可以直接用定义做。
证明线面平行的 *** 一般有四种，其中利用定义，判定定理和面面平行的性质是最基本的 *** ，而空间向量法是近几年高考考题中常考甚至可以说是必考题型和 *** 之一。
线面平行的判定 *** ：
（1）利用定义：线面平行（即直线与平面无任何公共点）；
（2）利用判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）
（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必然平行于另一个平面；
（4）空间向量法：即证明直线的向量与平面的法向量垂直，就可以说明该直线与平面平行。
下面我们举几道例题来说明后三种 *** 的应用：
利用判定定理
利用面面平行的性质
例2、（2020春?芝罘区校级期末）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（ ）
利用空间向量法
例3、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90o,AB=AC=AA1=1,延长A1C1至点P，使C1P=A1C1，连接AP交棱CC1于点D，求证：PB1//平面BDA1;
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高考考纲与考向分析——直线、平面垂直的判定及其性质考纲原文
（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.
理解以下判定定理：
·如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.
·如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.
理解以下性质定理，并能够证明：
·如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.
（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
知识点详解
一、直线与平面垂直
1．定义
2．直线与平面垂直的判定定理
【注意】在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线.
3．直线与平面垂直的性质定理
4．直线与平面所成的角
（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
5．常用结论（熟记）
（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．
（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
二、平面与平面垂直
1．定义
2．平面与平面垂直的判定定理
3．平面与平面垂直的性质定理
4．二面角
（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
（2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.
（3）二面角的范围：<0,π>
5．常用结论（熟记）
（1）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．
（2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
（3）如果两个平面互相垂直，那么过之一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在之一个平面内．
三、垂直问题的转化关系
考向分析
考向一 线面垂直的判定与性质
线面垂直问题的常见类型及解题策略：
(1)与命题真假判断有关的问题．
解决此类问题的 *** 是结合图形进行推理，或者依据条件举出反例否定．
(2)证明直线和平面垂直的常用 *** ：
①线面垂直的定义；
②判定定理；
⑤面面垂直的性质．
(3)线面垂直的证明．
证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．
(4)线面垂直的探索性问题．
①对命题条件的探索常采用以下三种 *** ：
a．先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；
b．先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；
c．把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．
②对命题结论的探索常采用以下 *** ：
首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾的结果就否定假设.
考向二 面面垂直的判定与性质
判定面面垂直的常见策略：
(1)利用定义(直二面角)．
(2)判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．
(3)在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．
考向三 线面角与二面角
求直线与平面所成的角的 *** ：
(1)求直线和平面所成角的步骤：
①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；
②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；
③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
(2)求线面角的技巧：
在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．
求二面角大小的步骤：
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．
本题考查空间立体几何中线面平行及线线垂直的判定，属于基础题。之一问，证明线面平行时，要紧扣线面平行的判定定理，不要遗漏条件；第二问证明线线垂直，是通过证明线面垂直进行的。
2017年江苏卷数学第15题：
参考答案：
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要证面面垂，必须从线面垂直开始。主要引导学生如何把包着这条直线找出来。这是个难点，准备周一继续讲性质。最后的综合应用要讲一个星期。学生刚学慢慢来，一节课就讲2道题，他们学会了就好。
见自己，见天地，见众生。这是人生的三种境界，高考数学亦是如此。
我们先来看第8题，这题是外接球+导数求最值的问题。它给我们教学的启示如下 ：
知己知彼，百战不殆。首先我们要知道高考重点考什么，其是我们自己掌握的情况如何，与高考要求差距的多大。外接球问题是高考重点考查的内容，我们要给予充分的重视。平时复习时我们应做到要事之一的原则，每到高考重点类型时，要肯花时间做够相应题型的练习；总结好此类题的解法和注意事项。
图难于其易，成大于其细。对于外接球问题，基础就是常规的外接球问题，如长方体、正方体、正棱锥、圆锥等，这些几何体的外接球模型我们就要要求学生必须掌握。
人的一生只有三件事：之一件是弄明白自己一生要做些什么？第二件是为人处事要找对 *** 。第三件是自己范围内，如何把事情做得更好一些？要求我们遇到问题时，解答好终极三问：是什么？为什么？怎么样？最后这个怎么样还要精进。对于外接球问题， *** 有两种直接法和间接法。
直接法步骤:选择一个面作为球的截面，确定其外心O1,再过此外心引截面的垂线，球心O在这条直线上。球心O、截面外心O1和截面上一顶点如A，构成一个直角三角形。（如图）再由等式求出解。
间接法模型：
可转化为长方体外接球的：①三条侧棱两两垂直的
三棱锥；②侧棱垂直于底面，底面是直角三角形的三棱锥；③三组对棱分别相等的三棱锥。
可转化为正方体外接球的：①三条侧棱两两垂直且相等的正三棱锥；②下四面体。
可转化为直棱柱外接球的：侧棱垂直于底面的棱锥。
有术无道，止于术；有道无术，术尚可求。对于 *** 和题型的总结不要止于这题，而是要引导学生每次做的错题都要做如下反思：①这道题中有没有知识点我不知道的，有的话要搞清楚其来龙去脉；②这道题中有没有易混易错点，如何才能避免下次犯同样的错误；③解决这类问题的 *** 是什么？步骤怎样？
现世面上常见的解法是用侧棱与高的夹角θ来处理，我认为不是很科学。因为表示体积时，比用高h来表示简便不了多少，但是接下来求时要多转一个弯。学生在面临三角函数最值时，经常会局限在三角 *** 中，此 *** 要求学生跳出三角 *** 来，用导数去求三次函数的最值。我认为用高h作变量去表示体积较好，表达式为 。
我们再来看第19题，第1节是用等体积法去求点面距，体现了转化与化归的思想 *** 。对于第2节我有看法如下：
1、立体几何的核心：线面垂直。立几中有关垂直的题你能解决多少和解决多好，主要取决于你能推出的线面垂直的多少。为什么呢？因为①线线垂直的证明一般要先证线面垂直；②面面垂直的证明一般要找一组线面垂直；③线面角求解中的直接法也要有线面垂直为基础，才能“一作”，这“一作”正是解题的关键；④二面角平面角的求解中，利用“三垂线”作法去做时，之一步过平面外一点引已知平面的垂线，也要有线面垂直作基础，这“一作”正是解题的关键；⑤点面距求解中的直接法也要用到线面垂直平处理。由上可知：线面垂直是处理垂直关系的“绝对核心”。
2、智者畏因，愚者畏果。好些学生平时学习时，不注重一些解题经验的积累，到了考出不好成绩时才懊恼，于事无补。我们要引导学生见微知著，不要因小失大。此题中条件，可推出核心：。其实立几题中的面面垂直条件就是用来推线面垂直的。
3、高考立几第2节的常规考法：角、距离、体积→关键线段→角、距离、体积。这题中由一个体积和一个面积求出关键线段BA,BC和AA1再由这些关键线段及它们的垂直关系来建系解题。
数学为啥难学？高中的知识可分为事实性知识、陈述性知识、程序性知识和元认知知识，数学这科不考事实性知识，定义、定理、性质等是陈述性知识，从本质上讲，就是要求学生把这些陈述性知识转化为可用以解题的程序性知识。比如线面角问题，课本只是给出线面角的定义，但要求学生掌握线面角直接法中的“一作二证三算”程序性知识。元认知知识就是自己对自己掌握知识多少方面的知识，一般人都会高估自己。正所谓“人要在社会上生存就要记住：别太把自己当人看，别太不把别人当人看。”
一叶知秋。认真钻研高考题，对我们今后的教学是有巨大帮助的。平时的教学中我们要引导学生清楚自己对知识和 *** 的掌握情况，真诚地与自己对话，这叫见自己；要准确把握好高考动向，要向数学方面的高手学习，这叫见天地；最后才能跳出高考，看众学子在数学高考中谁主沉浮！这叫见众生。
高中立体几何：类比学习法最近一段时间跟高中老师聊天和历届初中毕业学生的聊天中。发现一些问题，也是引起大猩猩老师的兴趣的。
高中老师：对于成绩差的学生，太难让他们建立立体感了，根本讲不明白
历届毕业生：高中数学学习真的太难了，跟初中完全不一样
这样问题是一个很普遍的问题，我也想研究一下高中数学当中立体几何，真的需要建立立体感才能学习好？还是真的需要天赋才能学习好？天赋不好的人真的就应该当学渣吗？在大猩猩老师这里，没有学渣与学霸之区分，只有”想学会“还是”不想学会“的区别，在于学生的想法。只要有强烈”想学会“愿望也愿意付出实际行动，大猩猩老师一定让你学会，学透，学明白。还是那句话”什么时候想学习都不晚,只要想学习“
今天主要针对的一些想学习，但是又苦于没有什么好办法的，或者说分数相对低一些的，如何学习。成绩高的可能对于今天的内容效果不是很好。
今天的主题就是”立体几何“VS“平面几何”
例题1与例题2为高中例题几何内容，例题3为初中平面几何内容
线面垂直
面面垂直
初中阶段：平面几何内容
例题1：线面垂直
大猩猩老师上课时候，我们如何处理这样的问题呢？
很多学生的回答:"读题，然后开始做题”
接着会问“不会，怎么办”
学生都保持了沉默了。
其实这样事情一直在发生，归结立体几何太难了，我没有立体感，我做不会这样题。这一系列内容，不是你没有立体感，也不是你学不会，重要是你没有掌握学习的真的 *** 。
思考1：线面垂直：学习的理论当中什么情况出现过线面垂直？多种情况呢？
思考2：如何高效的读题？快速找到解题的关键点？
我们就开始研究一下思考1
线面垂直需要我们研究的就是这三种情况，我相信很多学生这些概念，都被的滚瓜烂熟了，但是忽略一个问题，就是理论和实际是脱轨的，还有就是没有培养自己的一种发散思维。这些训练都没有导致，背的概念是概念，题还是题，完全建立不起来联系。
思考2的关键点：我们的分析 *** 就是从问入手到已知分析
之一步：读题其实就是看问，由问入手，了解让我们做什么或者求什么？然后我们心中有数，在结 合着学生训练过的，线面垂直有多少种情况，都是什么？然后需要我们做什么？这些迅速在脑子里闪现出来。
第二步：问中多种选择时候，我们需要做的就是根据“已知集中”原则，选择 *** 进行求解。
这样做我们就知道我们需要知道什么内容能够将题解决，提到“由问入手”“已知集中”原则，如果看过之前的文章的朋友应该对于这两个词不是很陌生，其实就是“平面几何”分析的内容，其实一样使用与立体几何
例题2：面面垂直
之一步：由问入手：由上一题内容，我们了解只能一种情况就是线面垂直，例如黄颜色内容为中点，线面垂直三种情况，至于选那种情况，我们需要求助已知条件
第二步：通过两个已知条件，T1里面隐含了平面几何内容，这个也是题的最关键内容，很多基础差的学生反应不过来就是这个是菱形，相关菱形的内容，第二个对于“垂直”的扩展，这个才是高中扩展出来内容，通过T1（新）选择五步法，然后找到我们需要证明：线垂直另一条线，在利用T2就可以搞定。
例题3：平面几何
这题的解析之前的几期都介绍过了，只拿第二问解析作为对比，来说明如何迁移的。
通过问入手，我们了解到，三种情况可以求出比值例如
蓝色圈上内容就是我们需要选择的 *** ，与我们上面讲的了立体几何 *** 其实一个内容毫无差别，只不过就是知识点不一样而已，道理还是一样的。
第二步：通过已知条件及我们所学过的内容，每一个条件隐含内容及每两个或者三个条件所组成新的隐含内容，我们不断的挖掘出来，然后根据已知集中原则，找到我们的解决 *** 。
这样做的好处，其实就是能够发现，我们题不会做时候，到底卡在哪里没有想出来，找到我们的为什么想不出来题，也能够让我们的思维更加系统，思维更加活跃起来。所以在初中时候的学习 *** 完全可以适用于高中的立体几何当中学习，但是很多学生在初中阶段就没有受过这样训练，完全就是能够写出来得分就可以了，导致没有分析题的这个能力提升，当遇到一些题超出自己认知范围时候或者答题不太顺利时候，认为是题出的难或者偏，而不是找到原因在于自己没有分析题的能力完全考的刷题记题学习，最后没有学习能力。
大猩猩老师寄语
立体几何；平面几何；同出异名；并无二法；
高一（下）数学同步辅导以题说法 35线面垂直判定与性质应用学生技巧归纳：
1、 解答题一般之一个小问简单，力求拿下勿丢分，第二问或者第三问难度系数会有所提升，思考一段时间后没有解题头绪建立先行放弃做其他题目；
2、 涉及到证明题，如果自己没有证明出来，其他问可以直接使用此结论，不需要再度证明；
3、 一般试卷的压轴题会在最后两道题中，压轴题之一问都比较简单，力求不丢分；
4、 如果解题过程中涉及繁杂计算，放弃最后答案，将解题过程写上，后期如果时间充裕可以回头重新计算；
5、 碰到不会的解答题，回想此类知识点你做过的步骤写上去，即使不对也不要留空白；
6、 解答题一定要书写工整，步骤清晰有结构，卷面的整洁及排版会给考官舒服感，之一印象分好考官是能给分就给分，之一印象差考官是能扣分就扣分，因为多人阅卷，如果评分不均要重新批改，考官一天工作量非常大，谁都不想给自己人为的自加工作量，所以卷面整洁的印象分很重要；
预测知识点：
1、 三角函数：
1） 恒等变换：三角形的边角转换公式、角的正余弦公式及面积公式
2） 未知数求解：w、A等
3） 单调区间、最小周期
4） 复合函数的具体解析式
2、 概率：
1） 由具体问题求解具体的概率
2） 分布列和数学期望（均值）
3、 数列：
1） 复合数列的通项公式
2） 复合数列的前n项和：相加相减求2Sn、数学归纳法
3） 与其他知识点延伸应用（一般难度系数较高）
4、 立体几何：
1） 具体证明：线线垂直、线面垂直、面面垂直、线段比例（或几等分点）
2） 求正余弦值：建立合适的空间立体坐标系是解题关键
3） 面积、体积
5、 函数：
1） 最值问题（极值点）
2） 切线方程（可能与抛物线，椭圆结合出题）
3） 未知数的讨论（讨论情况怎么分是解题关键）
4） 定义域、单调性
5）复合函数求具体解析式
6、两选一（一般双曲线不做基础题，会放在椭圆、抛物线中增加题目难度）：
6.1、椭圆：
1）具体方程解析式
2）具体题型的结论证明（难度系数高）：结合双曲线、与直线相交所截线段比
3）离心率等简单知识点
6.2、抛物线：
1）由斜率证明直线平行
2）动点的轨迹方程
3）综合应用（难度系数高，一般会是压轴题出现）
线面垂直判定定理的证明阅读新教材，发现线面垂直判定定理，停留在“有兴趣的同学可以自已试一试证明此判定定理”；可以说大多数同学对此无兴趣，年轻教师对此也无兴趣，年纪大的的教师一定会回想起，当时高中立体几何学习，这个定理证明可是满满一堂课呀！
而线面垂直性质定理，给出了证明（反证法），显见，编写者对反证法的重视程度。
教什么？怎么教？一线教师期待培训～～～
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